بنام خدا

نرم افزار متلب به دو صورت کلی می تواند معادله دیفرانسیل را حل کند:

1- حل عددی

2- حل تحلیلی

تابع مخصوص حل عددی در متلب ode هستش که نمونه های مختلفی داره مثل ode45 و یا ode23 و...

اما تابع مخصوص حل تحلیلی برای معادله دیفرانسیل در متلب dsolve هستش که فعلا در این پست به اون نمی پردازیم.

حال به بیان چگونگی استفاده از ode برای حل معادله دیفرانسیل می پردازیم. البته باید بهتون بگم که ما از ode45 استفاده می کنیم. خود متلب هم در help  گفته که برای شروع کار با ode45 مسئلتون رو حل کنید اگر که جواب نداد از ode23 و اگر که جواب نداد از دیگر توابع ode استفاده کنید. می تونید بروید تو قسمت help نرم افزار و با جستجو کردن عبارت ode راهنمای متلب رو در این مورد بخونید.

فرض کنید معادله دیفرانسیل مقابل با شرایط مرزی داده شده را می خواهیم حل کنیم:

y''+y'+y=cos(x)

y(0)=0

y'(0)=1

ما می دانیم که جواب معادله سینوس میشه. اما می خواهیم بدونیم متلب چه جوابی رو به ما میده.

ابتدا باید بهتون بگم که ode برای حل معادلات دیفرانسیل با شرایط اولیه در زمان (یا مکان) صفر هستش. یعنی شرایط مرزی مسئلتون نمی تونه در نقطه ای به غیر از صفر باشه. مثلا:

y''+y'+y=cos(x)

y(0)=0

y'(pi)=-1

جواب این معادله هم سینوس هستش اما چون شرایط مرزی فقط در صفر داده نشده نمیشه از ode استفاده کرد. این جور مسئله ها معروف اند به مسئله با مقدار مرزی یا bvp . ان شاءالله در پست های آینده طریقه حل این گونه معادلات رو هم خدمتتون عرض خواهم کرد.تابع مخصوص این معادلات در متلب عبارت است از bvp4c و bvp5c .

پس اگر که یه معادله دیفرانسیل داشتیم باید ببینیم که اون یک ode هستش یا یک bvp .

خب، برگردیم به مسئله خودمون. برای حل یک معادله دیفرانسیل به روش ode باید قبل از اینکه برنامه رو در متلب بنویسید اون رو در کاغذ دچار یه سری تغییراتی بکنید.

ابتدا نگاه می کنید به معادله دیفرانسیل و میبینید که مرتبه معادلتون (بالاترین مشتقی که در معادله وجود داره) چند هستش که حالا برای معادله ای که بالا نوشتم مرتبه معادله 2 میشه.

حالا باید معادلتون رو به تعداد عدد مرتبه، به معادلات دیفرانسیل های مرتبه اول تبدیل کنید. مرتبه معادله ما 2 بود پس باید دو متغیر جدید به نامهای y1 و y2 ایجاد کنمو به کمک اونها دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول تشکیل بدهم. امیدوارم که در درس معادلات دیفرانسیل این کار رو بلد شده باشید. من فقط نتیجه کار رو براتون مینویسم:

y=y1

y1'=y2

y2'=cos(x)-y2-y1

حالا معادله ما تبدیل شده به دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول به نامهای y'1 و y'2 .

تا الان هر کاری که کردیم روی کاغذ بود. حالا باید برویم و در متلب برنامه رو بنویسیم.

اولین قدم اینه که در یک function دو معادله دیفرانسیل مرتبه یک را به صورت ستونی در یک بردار مانند out بنویسیم:

function out=myfun(x,y)

out=[y(2);cos(x)-y(2)-y(1)];

این function را باید به نام خود تابع یعنی myfun ذخیره کنید.

حالا داخل یک m فایل دیگه یا در داخل command window از دستور ode استفاده می کنیم. فرم کلی دستور ode به صورت زیر می باشد:

ode45(@اسم تابع,بازه حل مسئله,شرایط مرزی مسئله)

پس برای مسئله ما به صورت زیر می شود:

>>ode45(@myfun,[0 5],[0 1])

دستور بالا به این معنیه که معادله دیفرانسیل ما در تابعی بنام myfun نوشته شده، می خواهیم که این معادله دیفرانسیل را در بازه 0 تا 5 حل کنیم. و شرایط مرزی معادله ما به ترتیب برابر 0 و 1 می باشد.

حالا با اجرای این دستور خروجی به صورت زیر مشاهده خواهد شد:

عکس

حالا توضیحات این گراف:

در این گراف 2 نمودار وجود دارد زیرا معادله دیفرانسیلمون را تبدیل به 2 معادله مرتبه اول کردیم. پس یکی از این نمودارها مربوط به y1 و دیگری مربوط به y2 هستش.

معادله y1 ما همان y ای است که ما دنبالش بودیم. یعنی در بین این دو نمودار، نمودار y1 جواب معادله ما هستش که چون جواب این مسئله ساده بود و ما می دانستیم که جواب سینوس می شود پس با نگاه به گراف می فهمیم که نمودار آبی رنگ جواب معادله ما یعنی همان نمودار سینوس هستش. و نمودار سبز رنگ نمودار y2 هستش که y2 برابر y'1 یا همان 'y هستش. در واقع نمودار سبز رنگ، مشتق جواب مسئله ما هستش که می شود کسینوس که با نگاه کردن به نمودار سبز رنگ براحتی خواهید یافت که این نمودار، نمودار کسینوس هستش.

اما ایرادات اینگونه جواب:

اولا هیچ گونه خروجی عددی در داخل workspace نیومده و فقط یک گراف کشیده شده که با رنگ های پیش فرض خود متلب برای ما نمودارها رسم شده که شاید مثلا کسی نخواهد جواب y2 را ببینه و فقط بخواهد جواب y1 که همان جوابی است که ما بدنبالش هستیم رو با رنگ مورد نظرش ببینه و از همه مهمتر اینکه به داده های عددی جواب در workspace دسترسی داشته باشه.

برای رفع این ایراد باید خروجی دستور ode را برابر دو متغیر قرار دهیم:

>>[x y]=ode45(@myfun,[0 5],[0 1]);

با این کار میبینید ک هر دو متغیر x و y به داخل workspace وارد شده و گرافی نیز دیگر کشیده نشد. اما این دو متغیر x و y چی هستند؟

متغیر x همان بازه بین 0 تا 5 هستش که شما در دستور ode نوشته بودید که متلب با یه گام خاصی این بازه رو تقسیم بندی کرده.( اگر که خودتون بخواهید گام بدهید باید بجای [5 0] بنویسید: [0:0.01:5] که منظور اینه که فاصله بین 0 تا 5 را با گام 0.01 تقسیم بندی کن که شما می توانید یه گام دیگه قرار دهید.)

اما متغیر y دارای 2 ستون هستش. ستون اول همان جواب y1 یا همان y هستش و ستون دوم جواب y2 هستش. پس الان براحتی می توانیم نمودار جواب مسئله را با هر رنگ و مشخصاتی که خودمون می خواهیم رسم نمائیم:

>>plot(x,y(:,1),'r','LineWidth',2)

عکس

اما یه سوال خیلی مهم:

خب، ما از کجا بفهمیم که رابطه ریاضی این نمودار چی میشه؟ حالا توی این سوال خاص که جواب سینوس بود ما خیلی راحت با نگاه به نمودار فهمیدیم که جواب سینوس میشه اما اگرکه نمودار جواب کمی پیچیده باشه دیگه نمیشه جواب معادله رو به صورت ریاضی به سادگی بیان کرد!

به نظر شما راه حل چیه؟ یعنی از کجا میتونیم بفهمیم که رابطه ریاضی برای نمودار جواب چی میشه؟

متلب برای این مشکل جعبه ابزاری به نام curve fitting toolbox رو معرفی می کنه. با خواندن help نرم افزار در مورد این جعبه ابزار که با دستور cftool در command window میتونید واردش بشید به راحتی می توانید معادله ریاضی فیت شده به این نمودار رو پیدا کنید.

در آینده ای نزدیک نحوه استفاده از cftool را به شما خواهم گفت.

آقا، جون هر کی دوست داری نظر یادت نره/.

ال مو یا